数学 レベルチェックテスト
このページは数学のレベルチェックテストです。
紙とペンをご用意下さい。
なお、数式の表示に不具合がありましたら、少し待ってみて、それでもダメなら使用する端末を変えてみて下さい。
問題編
問題１（〜数Ⅰ）
次の各問に解答して下さい。
（１）\(\frac{3}{2}\times \left ( -3a \right )\div a^{2}\)を計算せよ。
（２）\(12x^{2}-16xy-3y^{2}\)を因数分解せよ。
（３）\(\sqrt{180a}\)が整数となる最小の整数aの値を求めよ。
問題２（数Ⅱ）
次の各問に解答してください。
（１）\(θ\)の関数\(y=sin\theta cos\theta+cos^{2}\theta+1(0\leq \theta \leq 2\pi )\)の最大値と最小値を求めよ。なお、そのときのθは求めなくてよい。
（２）\(f(x)=x^{3}-3x+1(x\geq 0)\)の最小値を求めよ。
（３）２つの曲線\(y=x^{2}+2x+3,y=-x^{2}+3\)で囲まれた部分の面積を求めよ。
文系の方はここまで！
問題３（数Ⅲ）
（１）\((1+i)^8\)を計算せよ。
（２）\(y=sinx\cdot cosx\)をxで微分せよ。
（３）不定積分\(\int \frac{dx}{x^2-4}\)を求めよ。
解答は↓↓↓↓↓
解答編
問題１
（１）\(-\frac{9}{2a}\)
（２）\((6x+y)(2x-3y)\)
（３）\(\sqrt{180a}=\sqrt{2^{2}\times 3^{2}\times5 \times a}\) であるので、求めるaは\[a=5\]
問題２
（１）二倍角の公式並びに半角の公式及び三角関数の合成を用いると
\[\sin \theta \cos \theta +\cos ^{2}\theta +1\]\[=\frac{\sin2\theta}{2} +\frac{\cos2\theta+1}{2} \]\[=\frac{1}{2}(\sin2\theta+\cos2\theta)+\frac{1}{2}\]\[=\frac{1}{2}\sin(2\theta+\frac{\pi}{4} )+\frac{1}{2}\]
であるから、\(θ\)の範囲に注意して、最大値は１、最小値は０となる。
（２）\(x\)で微分すると、\(f'(x)=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)\)であるから、\(x\geq 0\)に注意して、
\(x=1\)で最小値をとる。
したがって、\(f(x)\)の最小値は\(f(1)=-1\)である。
（３）２つの曲線\(y=x^{2}+2x+3,y=-x^{2}+3\)の交点は\((-1,2),(0,3)\)である。
\(-1\leq x\leq 0\)において、\(-x^{2}+3\geq x^{2}+2x+3\)であるから、求める面積は以下のようになる。
\[\int_{-1}^{0}\left \{ (-x^{2}+3)-(x^{2}+2x+3) \right \}dx\]
\[=\int_{-1}^{0}(-2x^{2}-2x)dx\]
\[=\left [ -\frac{2}{3}x^{3}-x^{2} \right ]_{-1}^{0}\]
\[=\frac{1}{3}\]
問題３
（１）\((1+i)^8=\left \{ \sqrt{2}\left ( \frac{1}{\sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{2}}i \right ) \right \}^8\)と変形することが出来る。
\((\sqrt{2})^8(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4})^8\)
\(=16(cos2\pi+isin2\pi)\)（ド・モアブルの定理より）
\(=16\)となる。
（２）積の微分で行く場合
\[{y}’={sin}’x\cdot cosx+sinx\cdot {cos}’x\]
\[=cos^{2}x-sin^{2}x\]
\[=cos2x\]
※二倍角の公式を用いても簡単。
（３）
\[\int \frac{dx}{x^2-4}\]
\[=\int \frac{1}{4}(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2})dx\]
\[=\frac{1}{4}(\log\left | x-2\right |-\log \left | x+2 \right |)+C（Cは積分定数）\]
\[=\frac{1}{4}\log \left | \frac{x-2}{x+2}\right |+C\]
さて、どの位できたでしょうか？
目安として、文系：５問以上正解 理系：７問以上正解
ならば、基礎体力づくりはすっ飛ばしてよいでしょう。
そして、解法ストックから始めましょう。満点なら、もしかすると演習からでもいいかもしれません。
逆に、これに届かなかった場合、基礎体力づくりから始めましょう。
